푸리에 법칙 : 파동의 원리 19 푸리에 급수 26 단순조화진동 47 복소평면 74 단진동의 3번 해 & 복소평면 83
복소 푸리에 파동
일반 푸리에 급수에서 복소 푸리에 급수로 101 푸리에 급수 : Complex Fourier Series 112 이산시간 푸리에 급수 : Discrete Time Fourier Series 119 푸리에 변환 : Complex Fourier Transformation 128 이산시간 푸리에 변환 : DTFT 135 이산 푸리에 변환 : Discrete Fourier Transformation 144 회전연산자 : 이산 푸리에 변환 158 복소평면 & 회전연산자 균등분할 173
양자역학으로 이해하는 파동의 법칙
컨볼루션 181 디랙 델타 함수 δ(t) I 184 보어 & 하이젠베르크 186 디랙 델타 함수 II 208 LTI 시스템의 연결함수 : 회전연산자 217 이산 푸리에 변환 행렬 & 회전연산자 222
◆ 시간과 공간은 대칭이다. ◆ 시간 에너지와 공간 에너지는 조화진동 한다 ◆ 푸리에 법칙은 단진동 일반해의 조합이다. ◆ 푸리에 법칙은 회전연산자로 푼다.
1. 우주 자연의 변화를 담고 있는 푸리에 법칙
우리가 살아가는 세계는 다양한 존재, 온갖 사물과 현상이 빚어내는 파동으로 작동합니다. 세상은 한순간도 멈춰있지 않습니다. 활발한 기운으로 생동하는 것, 고요하고 평온하게 움직이는 것, 가라앉아 잠잠하게 일렁이는 것 등 만물은 저마다의 호흡으로 존재합니다.
형태가 바뀌고 양상이 변하고, 생성과 소멸을 경험하며 파동을 만드는 거죠. 끝없이 이어지는 시간과 무한히 펼쳐가는 공간은 파동과 연결돼 있습니다. 파동을 추적하면 우리를 둘러싼 세계와 우주 자연의 변화를 읽을 수 있다는 얘깁니다.
그럼 파동을 제대로 이해하려면, 자연과 사물의 변천 과정을 따라가려면 양상을 기술할 수 있는 도구가 필요하겠죠. 네. 푸리에 법칙입니다.
푸리에 법칙은 푸리에 남작(Fourier 1768~1830, 프랑스의 물리학자 · 수학자)이 고체 내의 열전도를 탐구하던 중에 탄생한 이론입니다. 푸리에 이론이 처음 소개되었을 때, 수식은 복잡했고 내용도 완전히 정리된 상태는 아니었습니다. 법칙을 만든 사람도 증명을 제대로 하기 어려웠죠. 세월이 흐르면서 후세대 연구자들에 의해 이론은 체계를 갖출 수 있었고 수식은 정교하게 다듬어졌습니다.
푸리에 법칙은 주기성을 갖는 파동함수를 sin 함수와 cos 함수로 기술합니다. 오일러 공식이 발견되면서 푸리에 법칙은 푸리에 변환으로 나아갔죠. 비주기 함수도 포함해 파동함수로 표현할 수 있게 되었습니다.
2. <파동의 법칙> 책의 구성
1부에서는 먼저 푸리에 법칙의 기초 과정을 살핍니다. 기초 과정이 끝나면 회전좌표축을 학습합니다. 회전좌표축을 통해 복소평면이 생성되는 과정을 설명하는 거죠. 푸리에 법칙과 단진동의 긴밀한 관계를 알 수 있을 겁니다.
2부에서는 회전연산자를 다룹니다. 복소 푸리에 파동에 제대로 접근하기 위해서죠. 회전연산자는 시간 변수가 주파수 변수로 바뀌는 과정을 분석할 수 있는 도구입니다. 복소평면을 균등분할하면 이산 푸리에 변환 행렬을 구성할 수 있죠. 시간과 주파수의 변환 관계를 명쾌하게 파악할 수 있습니다.
3부에서는 복소 파동의 내면을 살펴봅니다. 1, 2부에서 다룬 내용을 토대로 양자역학에 등장하는 디랙 델타 함수를 다룹니다. 파동 관련 도서를 제법 읽은 분들도 디랙 델타 함수는 어려워합니다. 왜 그럴까요?
디랙 델타 함수는 보어가 얘기한 양자의 정상 상태, 하이젠베르크의 행렬역학을 학습한 후에 다루면 어렵지 않습니다. 우리는‘보어와 하이젠베르크’장에서 행렬역학의 핵심 내용을 익힌 다음, 디랙 델타 함수를 탐구하겠습니다. LTI 시스템, 컨볼루션도 빠트릴 수 없겠죠. LTI와 디랙 델타 함수의 연결을 통해 LTI가 복소평면의 속성을 드러내는 과정을 알 수 있습니다.
3. 푸리에 복합파동
푸리에 복합파동은 대칭(symmetry)과 균형(balance, equilibrium)의 관점에서 접근하면 어렵지 않습니다. 허수가 실수와 맞서는 상황, 위치나 힘이 균형을 이루는 상태, 시간 요인과 공간 요인이 상응하며 대칭을 이룬다는 거죠.
시간과 공간이 어느 한쪽으로 기울지 않고 고르게 맞선다는 건? 자연의 에너지가 보존된다는 얘기입니다. 시간과 공간의 대칭을 염두에 두고 푸리에 법칙을 받아들이면 파동의 내면까지 이해할 수 있는 안목이 생깁니다.
어떻게? 푸리에 법칙에서 기술하는 복합파동을 일반적인 정현파 파동에서 시작, 복소 지수 함수(허수 지수 함수) 형태로 확장하는 겁니다. 그러니까 푸리에 급수와 푸리에 변환을 유도한 다음, 그걸 근거로 양자역학에서 다루는 양자와의 관련성도 함께 살피는 거죠.
푸리에 법칙 관점에서 보면 시간과 공간은 다르지 않습니다. 조화진동 하는 진동자로 짜여 있으니까요. 시간을 분할하면 공간이 되고 공간을 분할하면 다시 시간으로 바뀌며 우주 자연은 존재하는 거죠. 시간이 공간이고 공간이 시간이라는 걸 기억하면 푸리에 복합파동을 조금은 수월하게 이해할 수 있습니다.
총 
바보 빅터
