Part 4. 응용수학의 영역 1 복소해석학 2 상미분방정식 3 편미분방정식 4 적분방정식 5 섭동이론과 점근적 분석 6 변분법 7 특수함수 8 스펙트럼 이론 9 근사 이론 10 수치 선형 대수와 행렬해석 11 연속 최적화(비선형 및 선형 계획법) 12 상미분방정식의 수치해법 13 편미분방정식의 수치해법 14 확률해석학의 응용 15 역문제 16 계산과학 17 데이터 마이닝과 분석 18 네트워크 분석 19 고전역학 20 동역학계 21 분기 이론 22 응용수학에서의 대칭성 23 양자역학 24 랜덤 행렬 이론 25 운동 이론 26 연속체 역학 27 패턴 형성 28 유체역학 29 자기 동수력학 30 지구 시스템 동역학 31 유효 매질 이론 32 고체역학 33 부드러운 물질 34 제어 이론 35 신호처리 36 정보이론 37 응용 조합론과 그래프 이론 38 조합론적 최적화 39 대수기하학 40 일반상대론과 우주론
오늘날 모든 현대 과학은 응용수학이다. 따라서 이 책은 과학 전체를 가로지르는 개론서이다.
저명한 수학자이자 저술가인 열 명의 편집위원이 선별한 200여 주제를 각 분야의 대표 전문가 165명이 해설한다.
'응용수학'이란 무엇인가? 순수수학과는 어떤 관련을 가지며, 좀 더 범위를 확장해 '수학'이라는 오래된 학문 그 자체에서 어떤 의미를 지니는가? 각 분야의 선도적인 전문가 165명이 니콜라스 하이엄 외 9명의 편집위원의 지휘 아래 『프린스턴 응용수학 안내서 I, II』를 선보였고, 우리는 위의 질문을 탐구해볼 1576페이지 분량의 중요한 데이터를 갖게 되었다. 맨체스터대학의 리차드슨 교수인 니콜라스 하이엄은 그의 연구 분야인 수치해석뿐만 아니라 『MATLAB 가이드』, 『수리과학을 위한 글쓰기』, 《SIAM(Society for Inderstrial and Applied Mathematics) 저널》의 편집위원으로도 명성이 높다. 광범위한 수학적 영감을 지녔으면서, 동시에 세부적인 내용을 해설하는 데 능수능란한 하이엄은 편집위원들과 함께 현재에도 중요하며 미래에도 그 중요성이 지속될 응용수학의 200여 개의 항목을 선별하고, 분량과 난이도를 적절하게 조절하여 『프린스턴 응용수학 안내서 I, II』 안에 응축하였다. 이 책은 2008년 티모시 가워스(필즈상 수상자)가 순수수학의 여러 분야를 한데 엮어 집대성한 전작, 『프린스턴 수학 안내서 I, II』(2014, 승산)의 성공에 힘입어 기획된 후속편이다. 안내서란 주제를 '백과사전'처럼 자세히 상술하지 않으며, 모든 관련된 방법과 기술을 다루지 않는다는 점에서 '편람'과도 다르다. 안내서의 목적은 수학의 즐거움을 전달하면서, 그것의 역사와 훌륭한 도전의 진가를 알려주는 '폭 넓지만 선별된 범위'를 제공하는 것이다.
이 책에는 응용수학의 주요 아이디어와 역사, 핵심 개념, 법칙, 방정식, 응용문제, 수학적 모형화, 풍부한 참고 문헌 및 190여 개가 넘는 그림과 컬러 도판이 수록되어 있다. 일관된 주제 안에서 본문 내 상호 참조와 색인을 통해 스스로 완전하게 구조화된 형식을 취한다는 점에서 이 책은 위키피디아 등 인터넷 문서가 대신할 수 없는 완결성을 갖는다. 『프린스턴 응용수학 안내서 I, II』는 앞으로 수년간 책을 포함하여 다른 어떠한 문서도 대신할 수 없는 응용수학 분야의 지침이자 완결판이 되어줄 것이다.
수학에 매료된 독자들이라면 놓쳐서는 안 될 '지금-여기의 수학'
그렇다면 응용수학 전체를 가로지르는 이 두툼한 안내서는 어떻게 읽어야 할까? 첫 번째로 떠올릴 수 있는 간단한 방법은 처음 장부터 마지막 장까지 차례로 읽는 것이다. 하지만 편집위원들은 이 책을 좀 더 다양한 방식으로 읽어보기를 권한다. 니콜라스 하이엄은 서문에서 다음과 같은 의도를 갖고 책을 편집하였다고 말한다.
"편집자들은 독자 다수가 책을 휙 넘겨 흥미로운 무언가를 찾아 읽기 시작하고, 상호 참조를 따라 책 속을 예측할 수 없는 방식으로 돌아다니리라 생각한다."
목차를 처음 살펴본 독자는 바바라 키피츠의 [보존 법칙]이라는 장에 눈길이 갈 수도 있고, 혹은 제인 왕이 쓴 [곤충의 비행]에 눈길이 머물 수도 있다. 또는 필립 홈즈의 [동역학계], 잭 돈가라의 [고성능 컴퓨터 계산]에 관심이 갈 수도 있다. 책 곳곳에 보물 같은 주제가 숨어 있으며 독자는 이 책을 읽기 위한 자신만의 방법을 찾아내게 될 것이다. 편집자가 추천하는 전략은 크게 두 가지다. 하나는 목차 페이지에서 흥미를 느끼는 주제부터 읽어나가는 것이며 다른 하나는 자신이 이미 잘 알고 있는 주제에서 시작하여 조금 더 어려운 주제로 확장해나가는 것이다.
수학 애호가에게는 새로운 통찰을, 전문 연구가에게는 분야의 경계를 넘어설 출발점을 제공할 책
다음 장들은 많은 사람들에게 신선하고 흥미로울 것이며, 독자들을 새로운 영역에 첫발을 내딛도록 이끌기에 충분해 보인다. 켄 골든의 [해빙의 수학]은 침투 이론(percolation theory)이 실제 자연계에서 어떻게 적용되는지 매혹적인 방식으로 보여준다. 빌라니와 무오의 [운동 이론]은 독자들에게 특별한 영감을 불러일으킬 1912년부터 2013년까지의 중요한 연구자료 50편을 요약해두었다. 도널드 사리의 [N-체문제에서 천문학까지 그리고 암흑물질]은 물리학자들이 어째서 우주가 암흑물질로 가득 차 있다고 믿는지를 간결하고도 아름다운 방식으로 설명한다. 더글라스 아놀드의 [골프공의 비행]은 미세한 부분에 대한 관심이 어떻게 커다란 현상에 대한 설명을 이끌어내는지에 대한 완벽한 예를 보여준다. 반면, 자신의 영역에 더 깊이 몰입하고 현재 수준을 뛰어넘어 다음 단계로 도약하고 싶은 독자들은 간략한 개괄에서 더 나아가 심화되고 확장된 내용을 다루는 장을 탐구해볼 수 있다. 브라이언 데이브스의 [스펙트럼 이론], 스티븐 라이트의 [연속 최적화], 하이러와 루비치의 [상미분방정식의 수치해법], 데이비드 그리피스의 [양자역학], 에밀리 셔크버그의 [지구 시스템 동역학] 등은 대학원생과 연구자들이 긴 시간 숙고하며 읽기에 충분한 가치가 있을 것이다. 저자와 편집자는 독자가 자신만의 방식을 개발하여 이 책의 풍요로움과 깊이를 만끽하며 『프린스턴 응용수학 안내서』를 다양한 방법으로 탐구해갈 수 있기를 희망한다.
『프린스턴 응용수학 안내서』는 응용수학을 순수수학과의 관련성을 중심으로 서술하지 않으며, 응용수학이 관여하는 넓은 범위와 응용수학이 제공하는 확실성을 체감하여 독자들이 그 진가를 확인해 보기를 바라는 마음으로 쓰였다. 우주론에서 전염병학, 항공기 디자인의 패턴형성, 금융 포트폴리오 최적화, 영화 흥행 순위에 이르기까지 오늘날 인간이 성취했거나 추구하는 진취적이며 흥미로운 비지니스의 모든 곳에 수학이 관여한다. 독자들은 이 책을 통해 오늘날 인간의 삶과 도전에서 수학이라는 언어가 발휘하는 강력한 힘을 체험할 수 있을 것이다. 무엇보다도, 각기 다른 수학적 수준과 전문 분야를 가진 다양한 독자들이, 이 책이 제공하는 풍부한 내용을 통해 고급 수학에 대한 도전 의식을 고취하고, 자신의 영역을 뛰어넘어 탐구할 수 있는 동력을 얻기를 희망한다.
[이 책의 구성]
이 책은 총 8부로 구성된다. (1권 1~4부, 2권 5~8부.)
[1부 응용수학 소개] 응용수학의 다양한 정의를 살펴보고, 복소수, 미적분, 특수함수, 멱급수, 행렬과 벡터 등 응용수학의 기초 언어가 되는 수학과 학부 수준의 핵심 개념을 요약하여 설명한다. 다음으로는 함수적 근사부터 컴퓨터 알고리즘을 이용하는 방법까지 문제 해결 방법을 개관한다. 1부에서 가장 특별한 부분은 응용수학의 역사를 다룬 6장이다. 6장은 응용수학 분야에서 경력을 쌓아가기를 원하는 학생에게 멋진 읽을거리가 될 것이다. 또한 향후 이어질 장들의 논의를 역사적 맥락에서 이해할 강력한 밑바탕을 제공한다.
[2부 개념]과 [3부 응용수학의 방정식, 법칙, 함수] 응용수학의 중요한 개념과 방정식들을 백과사전식으로 제공한다. 응용수학의 맥락 위에서 용어를 정의하고 짧게 요약한 글들은 이후 등장할 여러 장들에서 폭넓게 참조되고 인용될 것이다. 주제는 광범위하다. 라플라스 방정식, 맥스웰 방정식, 감마함수, 나비에-스토크스 방정식과 같은 많은 중요 방정식을 소개하고, 점근식, 경계층, 혼돈, 수치해법, 적분 변환, 텐서와 다양체 등을 다룬다. 이곳에서는 응용수학 분야에서 일하는 수학자나 응용수학에서 좀 더 높은 수준을 탐험하려는 학생에게 간략하게 정리된 참조를 제공한다.
[4부 응용수학의 분야] 이 책에서 가장 넓고 깊은 내용을 다루는 부분이다. 4부에서는 응용수학의 고전적 내용들과 최근에 연구된 흥미로운 주제들을 연결한다. 각 장은 중요한 수학적 개념, 정리, 방정식을 포함하고, 간략한 예제와 해당 주제를 더 깊이 있게 탐구할 독자를 위한 참고 문헌을 제공한다. 4부에서는 수학적 직관을 고취하면서, 각 주제를 읽기 쉬운 형태를 유지하며 완전하게 파악하는 것을 목표로 한다. 저자들은 딱딱한 논문 형식을 따르기보다 부드러운 문체를 사용하려 노력했으며, 간단한 아이디어, 정의, 역사적 맥락에서부터 논의를 쌓아나간다. 4부의 접근방식을 보여주는 대표적인 장은 [유체역학]이다. 이 장은 독자에게 연속체 근사, 유체의 특성, 비압축성 유체, 유선(streamline)과 소용돌이의 간략한 개념을 나비에-스토크스 방정식의 세부사항에 압도되지 않도록 배려하며 설명한다. 수학과 물리학은 충분한 정보를 제공하면서도 자연스러운 방식으로 묘사된다. 예를 들어, 소용돌이 방정식을 이끌어낼 때는 필요한 벡터 항등식이 제공된다. 이어지는 유체 사례에서는 스토크스 유동과 입자의 움직임, 비점성 유동과 소용돌이 고리, 경계층에서의 공기역학 등을 설명한다. 마지막으로는 중요한 주제인 유동의 불안정성을 요약한다. 이 장에서는 학부 수준의 유체역학 강의의 개괄을 제공하고, 세부 사항과 가독성 사이에서 적절한 균형을 유지한다. 또한 독자들이 향후 습득 가능한 많은 포인트를 제시한다.
[5부 모델링] 물리 세계에 이용 가능한 넓은 범위의 기술적 예제를 제공한다. 여기서 다룰 내용들은 새로운 시스템을 위한 모형 설계를 증명하는 과정에 도움이 된다. 또한 모형화 과정에서 생겨나는 복잡한 문제들에 통찰력을 제공한다. 일부 장들은 모형화된 기존 시스템의 이해를 돕는다. 예를 들어 [금융 수학] 장은 독자들이 파생상품 가격 책정과 포트폴리오에 친숙해지도록 돕고 있다. 학생이라도 완전히 읽어낼 수 있으며, 더 읽을거리를 풍부히 제공하는 글들로 구성되어 있다.
[6부 예제 문제]와 [7부 응용 분야] 6, 7부는 넓은 범위에 걸쳐 과거에는 불가능했던 어려운 문제가 응용수학을 통해 오늘날 어떻게 해결되어가는지 살펴본다. 완전한 해결에 다다르지는 못했지만, 논의 가능한 문제들을 통해 독자를 현재 연구되는 많은 분야와 응용수학의 중요 문제로 이끈다.
[8부 마지막 관점] 이곳에는 최종 관점을 모아두었다. 재현 가능한 연구, 수학 글쓰기, 응용수학 가르치기, 대중문화o정치와 응용수학과의 상호작용을 설명한다.
총 
바보 빅터
