제1장 평면과 공간상의 곡선
제2장 곡선이 얼마나 굽었는가?
제3장 곡선의 대역적 성질
제4장 3차원상의 곡면
제5장 곡면의 예
제6장 제1기본형식
제7장 곡면의 곡률
제8장 가우스 곡률, 평균곡률과 주곡률
제9장 측지선
제10장 가우스의 위대한 정리
제11장 쌍곡기하학
제12장 극소곡면
제13장 가우스-본네 정리
부록
연습문제 힌트
연습문제 해답
본 교재의 제목인 “미분기하학”은 미적분을 사용하여 3차원 공간에서 곡선과 곡면의 기하학을 연구하는 것이다. 이 주제는 수학에서 가장 아름다운 몇 가지 이론을 포함하고 있으며, 대부분은 광범위한 배경지식이 없어도 이해할 수 있다. 사실상 본 교재에서 필요한 사전 지식은 편미분을 포함한 미적분학, 행렬과 행렬식을 포함한 벡터해석학과 선형대수학 정도면 충분하다.
본 교재에서 다루는 곡선과 곡면에 관한 대부분의 이론은 고차원 공간의 환경에서 적용되는 더 일반적인 이론들에 대한 본보기이다. 예를 들면, 제11장에서 다루는 가우스-본네의 정리는 기하학의 국소적 특징과 대역적 특징을 잇는 많은 이론들의 모델이다. 두 특징의 연관성에 대한 연구는 20세기 수학에서 중요한 주제로 자리매김을 하고 있다.
그러나 본 교재에서 사용하는 방법들은 반드시 고차원 공간의 환경으로 일반화되지 않는다는 것을 강조하고 싶다. 오히려 언제든지 바라는 결과를 얻을 수 있는 가장 간단한 방법을 사용하려고 노력했다. 더욱이 사전 지식을 최소화하려고 했을 뿐만 아니라, 고차원 공간에서 미분기하학을 고려할 때 가끔 만나는 개념상의 어려움을 피할 수도 있다. 이러한 방법으로 많은 독자들이 기하학의 아름다운 주제에 접근할 수 있기를 바란다.
상투적인 문구에도 불구하고 사실이지만, 수학이란 소설을 읽듯이 읽어서 되는 학문이 아니고, 그것을 수행, 즉 풀어 봄으로써 알 수 있는 학문이다. 따라서 본 교재는 200문제 이상의 연습문제를 수록하고 있다. 독자들은 능력이 허용하는 대로 연습문제를 해결하려고 시도해야 한다. 연습문제에 대한 전체적인 해답을 교재의 끝 부분에 실어두었지만, 먼저 독자 스스로 풀어 본 다음이거나 도저히 해결할 수 없을 경우에만 참조하길 바란다. 쉽지 않은 문제들에는 힌트를 주어서 자포자기의 경우를 최소화하려고 노력하였다.
중고단행본
멀티플라이어
